Question

【題目】如圖，已知的圓心為點，拋物線y＝ax2﹣x+c過點A，與交于B、C兩點，連接AB、AC，且AB⊥AC，B、C兩點的縱坐標分別是2、1．

（1）求B、C點坐標和拋物線的解析式；

（2）直線y＝kx+1經過點B，與x軸交于點D．點E（與點D不重合）在該直線上，且AD＝AE，請判斷點E是否在此拋物線上，并說明理由；

（3）如果直線y＝k1x﹣1與⊙A相切，請直接寫出滿足此條件的直線解析式．

Answer 1

【答案】（1）點B、C的坐標分別為(2，2)、(5，1)，；（2）點E在拋物線上，理由見解析；（3）或y＝2x﹣1．

【解析】

（1）根據題意，作出合適的輔助線，然后根據全等三角形的性質和判定可以得到點B和點C的坐標，然后將點B和C的坐標代入拋物線解析式，即可得到答案；

（2）根據（1）中的拋物線的解析式可以得到點D的坐標，從而可以求得直線BD的解析式，然后根據點E（與點D不重合）在該直線上，且AD＝AE，即可得到點E的坐標，然后將點E的橫坐標代入拋物線解析式，即可得到相應的縱坐標，即可判斷點E是否在拋物線上；

（3）根據題意，畫出相應的輔助線，然后利用分類討論的方法可以求出滿足條件的直線解析式．

解：（1）過點B、C分別作x軸的垂線交于點R、S，

∠BAR+∠RBA＝90°，∠BAR+∠CAS＝90°，

∴∠RAB＝∠SCA，

又∵AB＝AC，

∴（AAS），

∴AS＝BR，AR＝CS，

∵B、C兩點的縱坐標分別是2、1，

∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，

故點B、C的坐標分別為（2，2）、（5，1），

將點B、C坐標代入拋物線y＝ax2﹣x+c，

解得：

故拋物線的表達式為

（2）∵直線y＝kx+1經過點B（2，2），

∴2＝2k+1，得

即直線

當y＝0時， 得x＝﹣2，

即點D的坐標為（﹣2，0），

∵點A、B、C、D的坐標分別為（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），

∴ AD＝5，

∵點E在直線BD上，

∴設E的坐標為，

∵AD＝AE，

∴

解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝6，

∴點E（6，4），

當x＝6時，

∴點E在拋物線上；

（3）①當切點在x軸下方時，

設直線y＝k1x﹣1與⊙A相切于點H，

直線與x軸、y軸分別交于點K、G（0，﹣1），連接GA，

∵AR＝1， ∠BRA＝90°，點A（3，0），點G（0，﹣1），

∴AB＝ AG＝

∴AH＝AB＝

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠OKG，

∴，

∴ ，

即：

解得：KO＝2或（舍去），

經檢驗：符合題意，

∴點K的坐標為（﹣2，0），

把點K的坐標代入y＝k1x﹣1，得

0＝﹣2k1﹣1，得k1＝，

∴直線的表達式為；

②當切點在x軸上方時，如圖，切點為，

記與軸交于點，

設 則

由勾股定理得：

解得：（舍去）

經檢驗：符合題意，

把 代入y＝k1x﹣1，

此時切線為：

故滿足條件的直線解析式為或y＝2x﹣1．