Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，為半圓的圓心，是弦，取的中點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是半圓的切線；

（2）當，時，求的長；

（3）當時，直接寫出面積最大時，點到直徑的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OD，先說明∠BAD=∠CAD，然后根據等腰三角形的性質和平行線的性質證得OD//AC，再運用平行線的性質∠ODE=90°即可；

（2）連接BC、OC，則∠ACB是直角，利用特殊銳角三角函數值可得∠BAC=30°，則∠BOC=60°，最后依據扇形的弧長公式進行計算即可；

（3）連接OD、BC、OC，過點O作OF⊥AC，垂足為F，先證明四邊形ODEF為矩形，得到OF=ED，再通過解直角三角形求得AC、OF，最后運用角平分線定理即可解答．

解：（1）證明：如解圖①，連接

是的中點，

，

，

，

又是半圓的半徑，

是半圓的切線；

圖①

（2）如解圖②，連接、，則是直角．

∵，，

∴

，

圖②

（3）如解圖③所示：連接、、，過點作，垂足為．

∵．

四邊形為矩形，

，

當時，為等腰直角三角形，此時面積最大，

·

，

平分

點到的距離．

圖③