Question

【題目】已知二次函數．

（1）甲說：該二次函數的圖象必定經過點．乙說：若圖象的頂點在x軸上，則，你覺得他們的結論對嗎？請說明理由；

（2）若拋物線經過，，求證；

（3）甲問乙：“我取的k是一個整數，畫出它的圖象后發現拋物線與x軸的一個交點在y軸右側，一個交點在原點和之間，你知道k等于幾嗎？并求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙的結論都錯誤，理由見解析；（2）證明見解析；（3）k=1

【解析】

（1）把函數表達式變形為y+3x2=k（x2-2x+6），求出當x=-2，y=-12時，，，可得結論；根據拋物線的頂點在x軸上得頂點的縱坐標為0從而可得k的值；

（2）將點P，Q的坐標分別代入二次函數解析式，得到含k的表達式，進行乘積運算，最后進行配方即可得到結論；

（3）分和 兩種情況分類討論：當時，，求得，此時無整數k；當時，根據以及拋物線與x軸的一個交點在原點和之間可求得，從而求得整數k的值.

（1）∵

∴

當x=-2，y=-12時，，，

故該二次函數的圖象不是必經過點，

因此，甲的結論不正確；

對于函數的頂點坐標為：（， ），

∵圖象的頂點在x軸上，

∴

解得，，，

因此，圖象的頂點在x軸上，則k=0或；

故乙的結論錯誤；

（2）把，分別代入得，

，，

∴，

∵

∴；

（3）分兩種情況：

（i）當時，即，由拋物線與x軸有兩個交點得，

解得，，

∴，

∴不存在整數k；

（ii）當時，即，此時， ，

∴，

∵拋物線與x軸的一個交點在原點和之間，

∴當x=-3時，y=，

解得，，

∴，

∴整數k=1.