Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC，∠ACB=120°，P是線段CB上一動點（與點C，B不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得∠PAC=∠QAC，過點Q作射線QH交線段AP于H，交AB于點M，使得∠AHQ=60°．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示線段QC和BM之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠AMQ=30°+α；（2）BMCQ，證明見解析．

【解析】

（1）根據等腰△ABC，∠ACB=120，得到∠B=∠CAB=30°，由∠ACQ=60°．

∠AHQ=60°，可得∠AGH=∠QGC，則有∠MQB=∠PAC=α，利用三角形的外角的性質，可知∠AMQ=30°+α；

（2）過點M作ME∥AC，交BQ于點E，根據∠PAC=∠QAC=α，∠QAM=∠QMA=30°+α，可得QA=QM，∠ACQ=∠MEQ=60，利用AAS可證△QAC≌△MQE，可以得出EM=EB，設EN=x，則BE=EM=2x，BNx，可得BM=2x，CQ=EM=2x，可求出 BMCQ．

（1）如圖

∠ACB=120°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=30°，∠ACQ=60°．

∵∠AHQ=60°．

∵∠AGH=∠QGC，∴∠MQB=∠PAC=α

∠AMQ=∠B+∠MQB=30°+α；

（2）如圖，

過點M作ME∥AC，交BQ于點E，

∵∠PAC=∠QAC=α，

∴∠QAM=∠QMA=30°+α，

∴QA=QM

∴∠ACQ=∠MEQ=60°，∠QAC=∠MQE，

∴△QAC≌△MQE（AAS），∴CQ=EM

∵∠B=30°，∴∠EMB=30°，∴EM=EB，

作EN⊥BM于點N，

設EN=x，則BE=EM=2x，BNx，∴BM=2x，

CQ=EM=2x，∴BMCQ．