Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為1，∠CBD＝30°，則圖中陰影部分的面積；

（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E若BC＝12，tan∠CDA＝，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）－；（3）5

【解析】

試題分析：（1）連接OD、OE，根據∠ADO+∠DBA=90°以及∠∠CDA=∠CBD得出∠ODC=90°；（2）陰影部分的面積等于△OCD的面積減去扇形ODA的面積進行計算；（3）將∠CDA轉化成∠OEB，然后利用勾股定理進行求解．

試題解析：（1）連OD，OE，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠BDO，∴∠BDO=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵OD=1，∠CBD=30° ∴∠DOC=60° ∴∠C=30° ∴OC=2，CD=

∴△OCD的面積= 扇形ODA的面積= ∴陰影部分的面積=－；

（3）∵EB為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，

∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴，∴CD=×12=8，

在Rt△CBE中，設BE=x，∴（x+8）=x+12，解得x=5．即BE的長為5．