Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B、C兩點，且與x軸交于另一點A．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點P是線段BC下方的拋物線上的動點（不與點B、C重合），過P作PD∥y軸交BC于點D，以PD為直徑的圓交BC于另一點E，求DE的最大值及此時點P的坐標；

（3）當（2）中的DE取最大值時，將△PDE繞點D旋轉，當點P落在坐標軸上時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2時，DE有最大值，此時P；（3），或E或

【解析】

（1）求出，，將與代入拋物線解析式即可求出、的值，進而確定函數解析式；

（2）設，可得，利用P、D的坐標表示出PD，再由點到直線距離公式求得線段PE的代數式，根據勾股定理求得線段DE的代數式，通過整理即可得到當時，有最大值，此時；

（3）當點P落在坐標軸上時，先求出P點坐標，再分三種情況討論：①當時；②當；③；分別求出點坐標即可．

解：（1）在直線中，

當時，，即，

當時，，即

將，分別代入得：

，

解得：，

；

（2）設，

是線段下方，

，

直線的解析式為，

軸與交于點，

，

，

，則PE為點P到直線BC：的距離，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴，

當時，有最大值，此時；

（3）由（2）可知，，，，；

①如圖1，當P點落在如圖所示的位置，即，延長與軸交于點，

，，

∵，

，

，

∴，

過點作，過點作交的延長線于點；

，

∴∠DE'G+∠E'DG=∠DE'G+∠P' E'H=90°，

∴∠E'DG=∠P' E'H，

∴△DGE'∽△E'HP'，

，

，

設，則，，，，

整理得：，解得：，

∴；

②如圖2，與關于對稱，

∴，

過點作軸垂線，過點D作DM⊥交的延長線于點M，

同理①得：△DME'∽△E'NP'，

∴，

，

設，則，，，，

∴，

整理得：，解得：，

∴；

③如圖3，在y軸上，

∵，

，

，

過點作，

設，則，，

在△中，

，

，

，

，

，

∴；

綜上所述：當點P落在坐標軸上時，點E的坐標為或或．