Question

【題目】如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC，對角線 AC、BD 交于點 O，BD 平分∠ABC，過點 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延長線于點 E．連接 OE．

（1）求證：四邊形 ABCD 是菱形；

（2）若 tan∠DBC= ，AB= ，求線段 OE 的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線得出∠ADB=∠ABD，證出AD=AB，由AB=BC得出AD=BC，又AD∥BC，所以四邊形 ABCD 是平行四邊形，又AD＝AB，即可得出結論；

（2）由四邊形 ABCD 是菱形，有AB=BC=，BD=2OB，在 Rt△BOC中，由tan∠DBC=，解直角三角形得到OB=6，所以BD=2OB=12，在Rt△BDE中，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出OE的長度．

（1）∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ADB，

∵BD 為∠ABC 的平分線，

∴∠ABO＝∠DBC，

∴∠ABO＝∠ADB，

∴AD＝AB＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形 ABCD 是平行四邊形，

∵AD＝AB，

∴ABCD 是菱形；

（2）∵四邊形 ABCD 是菱形，AB=

∴BC= AB= ，OB=OD，且 AC⊥BD

在 Rt△BOC 中，tan∠DBC=

設 OC=x，則 OB=3x，

∴BC= = x ∴x=2，OB=6

∵DE⊥BC，

∴∠CED=90°， ∵O 為 BD 中點，

∴