Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線C1：y＝ax2+bx（a＜0）經過點A和x軸上的點B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）連結AM，求S△AOM；

（3）設點F是x軸上一點，如果△MBF與△AOM相似，求所有符合條件的點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）S△AOM＝；（3）點F的坐標為：（4，0）或（，0）．

【解析】

（1）過點A作AN⊥x軸于點N，則∠AON＝60°，ON＝OA＝1，AN＝，故點A（﹣1，﹣），利用待定系數法即可求解；

（2）連接AM交y軸于點H，求出直線AM的表達式，得到OH的長，然后根據S△AOM＝OH·（xM﹣xA）進行計算；

（3）分兩種情況：①當∠BMF＝150°時，可得三角形不存在，此情況舍去；②當∠MBF＝150°時，再分△OAM∽△BMF和△OAM∽△BFM，分別利用相似三角形的性質列出比例式求出BF即可．

解：（1）過點A作AN⊥x軸于點N，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AON＝60°，

∴ON＝OA＝1，AN＝，

故點A（﹣1，﹣），

將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+；

（2）連接AM交y軸于點H，

∵y＝﹣x2+，

∴M（1，），

設直線AM的表達式為：y＝kx＋b（k≠0），

將點A、M的坐標代入一次函數的表達式得：，

解得：

∴直線AM的表達式為：y＝x﹣，

∴OH＝，

∴S△AOM＝OH·（xM﹣xA）＝××2＝；

（3）∵A（﹣1，﹣），B（2，0），M（1，），

∴，，，

∴∠MOB＝∠MBO＝30°，

∴∠AOM＝150°，

①當∠BMF＝150°時，∠BFM＝0°，三角形不存在，故此情況舍去；

②當∠MBF＝150°，且△OAM∽△BMF時，

則，即，

解得：BF＝；

當∠MBF＝150°，且△OAM∽△BFM時，

同理可得：BF＝2，

故點F的坐標為：（，0）或（4，0）；