Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．

(1)求證：AC∥DE；

(2)連接AD、CD、OC．填空

①當∠OAC的度數為　 　時，四邊形AOCD為菱形；

②當OA＝AE＝2時，四邊形ACDE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①30°；②2.

【解析】

（1）由垂徑定理，切線的性質可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；

（2）①連接CD，AD，OC，由題意可證△ADO是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得DF=OF，AF=FC，且AC⊥OD，可證四邊形AOCD為菱形；

②由題意可證△AFO∽△ODE，可得，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可證四邊形ACDE是平行四邊形，由勾股定理可求DE的長，即可求四邊形ACDE的面積．

(1)∵F為弦AC的中點，

∴AF＝CF，且OF過圓心O

∴FO⊥AC，

∵DE是⊙O切線

∴OD⊥DE

∴DE∥AC

(2)①當∠OAC＝30°時，四邊形AOCD是菱形，

理由如下：如圖，連接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC

∴∠AOF＝60°

∵AO＝DO，∠AOF＝60°

∴△ADO是等邊三角形

又∵AF⊥DO

∴DF＝FO，且AF＝CF，

∴四邊形AOCD是平行四邊形

又∵AO＝CO

∴四邊形AOCD是菱形

②如圖，連接CD，

∵AC∥DE

∴△AFO∽△EDO

∴

∴OD＝2OF，DE＝2AF

∵AC＝2AF

∴DE＝AC，且DE∥AC

∴四邊形ACDE是平行四邊形

∵OA＝AE＝OD＝2

∴OF＝DF＝1，OE＝4

∵在Rt△ODE中，DE＝

∴S四邊形ACDE＝DE×DF

故答案為.