Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則．下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），

∴△MDI∽△ANI．∴，∴①

如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF

∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°．

∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA．

∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②

任務：（1）觀察發現：， （用含R，d的代數式表示）；

（2）請判斷BD和ID的數量關系，并說明理由．

（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務（1），（2）的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

（4）應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內心之間的距離為 cm．

Answer 1

【答案】（（1）R-d；（2）BD=ID，理由見解析；（3）見解析；（4）cm

【解析】

（1）直接觀察可得；
（2）BD=ID，只要證明∠BID=∠DBI，由三角形內心性質和圓周角性質即可得證；
（3）應用（1）（2）結論即可；
（4）直接代入計算．

（1）∵O、I、N三點共線，
∴OI+IN=ON
∴IN=ON-OI=R-d
故答案為：R-d；
（2）BD=ID
理由如下：
如圖3，過點I作⊙O直徑MN，連接AI并延長交⊙O于D，連接MD，BI，BD，

∵點I是△ABC的內心
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴∠BID=∠DBI
∴BD=ID
（3）由（2）知：BD=ID
∴IAID=DEIF
∵DEIF=IMIN
∴2Rr=（R+d）（R-d）
∴R2-d2=2Rr
∴d2=R2-2Rr
（4）由（3）知：d2=R2-2Rr；將R=5，r=2代入得：
d2=52-2×5×2=5，
∵d＞0
∴d= .
故答案為：．