Question

【題目】如圖，△ABD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為弧AD的中點，CH⊥AB于點E，交AD于點P，交⊙O于點H，連接DH，連接BC交AD于點F．下列結論中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④APAD＝CFCB；⑤若⊙O的半徑為5，AF＝，則CH＝．正確的有（　　）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據已知條件得到∠H＝∠ABC，∠C+∠ABC＝90°，于是得到∠H+∠C＝90°，求得DH⊥BC，故①正確；根據，得到∠CBD＝∠ABC，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠BFD+∠DBF＝90°，得到∠C＝∠CFP，于是求得CP＝PF，故②正確；根據垂徑定理得到，求得，于是得到CH＝AD；故③正確；連接AC，BH，得到∠ACH＝∠CAD，求得AP＝CP，根據垂徑定理得到，求得BC＝BH，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：∵C為弧AD的中點，

∴

∴∠H＝∠ABC，

∵CH⊥AB，

∴∠C+∠ABC＝90°，

∴∠H+∠C＝90°，

∴DH⊥BC，故①正確；

∵，

∴∠CBD＝∠ABC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BFD+∠DBF＝90°，

∴∠C＝∠BFD，

∵∠CFP＝∠DFB，

∴∠C＝∠CFP，

∴CP＝PF，故②正確；

∵AB為⊙O的直徑，C為弧AD的中點，CH⊥AB，

∴，

∴，

∴CH＝AD；故③正確；

連接AC，BH，

則∠ACH＝∠CAD，

∴AP＝CP，

∵CH⊥AB，

∴，

∴BC＝BH，

∴∠BCH＝∠BHC，

∴∠CFP＝∠BHC，

∵∠PCF＝∠BCH，

∴△CPF∽△CBH，

∴，

∴PCCH＝CFCB，

∵PC＝AP，CH＝AD，

∴APAD＝CFCB，故④正確；

∵∠CAF＝∠ABC，

又∵∠ACF＝∠BCA，

∴△CAF∽△CBA，

∴，

又∵AB＝10，

∴AC＝6，BC＝8．

根據直角三角形的面積公式，得：ACBC＝ABCE，

∴6×8＝10CE．

∴CE＝

又∵CH＝HE，

∴CH＝2CE＝．故⑤錯誤，

故選：C．