Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點D．

（1）如圖1，若點A，M，N在一條直線上，

①求證：BN+CM＝AM；

②若AM＝4，BN＝，求BD的長；

（2）如圖2，若AB＝4，CN＝2，將△CMN繞點C順時針旋轉一周，在旋轉過程中射線NM交AB于點H，當三角形DBH是直角三角形時，請你直接寫出CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）2.

【解析】

（1）①如圖，過點C作CF⊥CN，交AN于點F，由等腰直角三角形的性質，可求∠CNM=45°，CM=MN，即可證∠FCN=∠ACB，∠CFN=∠CNF=45°，根據“SAS”可證
△ACF≌△BCN，可得AF=BN，根據等腰直角三角形的性質可得MF=MN=CM，即可證BN+CM=AM；
②由題意可求出CM=MN=，由全等三角形的性質可得∠CAF=∠CBN，即可證∠MCD=∠CBN，則CM∥BN，可得△MCD∽△NBD，根據相似三角形的性質和勾股定理可求BD的長；
（2）分∠BDH=90°，∠DHB=90°兩種情況討論，根據等腰直角三角形的性質可求CD的長．

證明：（1）①如圖，過點C作CF⊥CN，交AN于點F，

∵△CMN是等腰直角三角形，

∴∠CNM＝45°，CM＝MN，

∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，

∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，

∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，

∴△ACF≌△BCN（SAS），

∴AF＝BN，

∵CF＝CN，CM⊥MN，

∴MF＝MN＝CM，

∴AM＝AF+FM＝BN+CM

②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，

∴CM＝MN＝，

∵△ACF≌△BCN，

∴∠CAF＝∠CBN，

∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°

∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，

∴∠MCD＝∠CBN

∴CM∥BN

∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°

∴＝

∴MD＝ND

∵MD+ND＝MN＝

∴ND＝

在Rt△DNB中，BD＝＝

（2）若∠BDH＝90°，如圖，此時點M與點D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2

∴CM＝MN＝

∴CD＝，

若∠BHD＝90°，如圖，

∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，

∴∠BDH＝45°

∴∠CDN＝45°＝∠N

∴CD＝CN＝2．