Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高線，CE是△ABC的角平分線，它們相交于點P．

（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求證：AB＝BC；

（2）若∠BAC＝90°，AP為△AEC邊EC上中線，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°．

【解析】

由三角形的內角和可求出∠ECB＝35°，根據角平分線的定義可求∠ACB＝70°，進而可求出∠BAC＝70°，從而結論可證；

（2）由AP是△AEC邊EC上的中線可知AP＝PC，從而∠PAC＝∠PCA，由CE是∠ACB的平分線，可證∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，從而可求出∠PAC的度數，然后求出∠BAD＝60°，繼而可求出∠B的值.

（1）證明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°，

∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，

∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴AB＝AC．

（2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC邊EC上的中線，

∴AP＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA，

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，

∵∠ADC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵∠ADB＝90°，

∴∠B＝90°﹣60°＝30°．