Question

【題目】如圖所示，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，點C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G，過C作CE∥BD交AB的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）求證：CG=BG；
（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵∠A=∠CBD，

∴ = ，

∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CF⊥AB，

∴∠ACB=∠CFB=90°，

∵∠ABC=∠CBF，

∴∠A=∠BCF，

∵∠A=∠CBD，

∴∠BCF=∠CBD，

∴CG=BG；

（3）解：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠DBA=30°，

∴∠BAD=60°，

∵ = ，

∴∠DAC=∠BAC= ∠BAD=30°，

∴ =tan30°= ，

∵CE∥BD，

∴∠E=∠DBA=30°，

∴AC=CE，

∴ = ，

∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，

∴∠BCE=30°，

∴BE=BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴ = = ，

∵CG=4，

∴BC=4 ，

∴BE=4 ．

【解析】（1）連接OC，由兩弧再根據垂徑定理得到OC⊥BD，根據平行線的性質推出OC⊥CE，CE是⊙O的切線；
（2）先根據圓周角定理得出∠ACB=90°，然后根據同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可證得∠BCF=∠CBD，根據同角對等邊即可證得CG=BG；
（3）連接AD，根據圓周角定理得和解直角三角形的值，再根據三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

【考點精析】掌握勾股定理的概念和垂徑定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．