Question

【題目】平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A、B兩點，點B的坐標為（4，0），與y軸交于點C，直線y＝kx+2經過A、C兩點．

（1）如圖1，求a、c的值；

（2）如圖2，點P為拋物線y＝ax2+x+c在第一象限的圖象上一點，連接AP、CP，設點P的橫坐標為t，△ACP的面積為S，求S與t的函數解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點D為線段AC上一點，直線OD與直線BC交于點E，點F是直線OD上一點，連接BP、BF、PF、PD，BF＝BP，∠FBP＝90°，若OE＝，求直線PD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）a=、c=2；（2）S＝t2+t（0＜t＜4）；（3）直線PD的解析式為y＝x+．

【解析】

（1）令y＝kx+2中x=0，可得出點C的坐標，再將B，C的坐標代入y＝ax2+x+c，可求出a，c的值；

（2）過點P作x軸的垂線，垂足為點M，且與直線AC交于點K，過點C作PK的垂線，垂足為點N，先求出點A的坐標，從而可得出直線y＝kx+2的解析式，由P點的橫坐標為t，可得P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），得出PK＝t2+t，最后根據S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK可得出函數解析式；

（3）過點O作OH⊥BC于點H，結合面積法和勾股定理可先求出OH，BH的長，進一步可得出EH，BE，CE的長；過點E作EG⊥y軸于點G，先得出tan∠CEG＝tan∠OBE＝，可求出CG，EG的長，從而可求出點E的坐標，利用待定系數法可求出直線OE的解析式，再與直線AC的解析式聯立可求出點D坐標；過點B作x軸的垂線，與過點P、F作的y軸的垂線分別交于Q、T兩點，先證明△PQB≌△BTF，從而有BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，F（t2﹣t+2，t﹣4），設TF交y軸于點I，根據tan∠OEG＝2＝tan∠OFI可得出關于t的方程，解出t可得出點P的坐標，最后根據待定系數法可求出直線PD的解析式．

解：（1）∵直線y＝kx+2經過C點，

∴C（0，2），

把點B的坐標為（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，

得到，解得；

（2）如圖1，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，且與直線AC交于點K，過點C作PK的垂線，垂足為點N，

∵y＝﹣x2+x+2，

∴A（﹣1，0），

∵直線y＝kx+2經過A點，

∴k＝2，

∴y＝2x+2，

∵P點的橫坐標為t，

∴P（t，﹣t2+t+2），K（t，2t+2），

∴PK＝t2+t，

∴S＝S△AMK﹣S△AMP﹣S△CPK＝﹣﹣＝＝，

∴S＝t2+t（0＜t＜4）；

（3）∵OC＝2，OB＝4，

∴tan∠OBE＝，BC=2，

如圖2：過點O作OH⊥BC于點H，

∴OH＝，

∴BH＝=，

∵OE＝，∴EH＝=，

∴BE＝，∴CE＝，

過點E作EG⊥y軸于點G，

∵tan∠CEG＝tan∠OBE＝，

∴CG＝，EG＝，

∴E（﹣，），

∴易得直線OE的解析式y＝﹣2x，

∵直線AC的解析式為y＝2x+2，

∴聯立直線OE與直線AC的解析式，解得D（﹣，1），

過點B作x軸的垂線，與過點P、F作的y軸的垂線分別交于Q、T兩點，

∵∠FBP＝90°，

∴∠PBQ＝∠BFT，

∵BP＝BF，

∴△PQB≌△BTF（AAS），

∴BT＝PQ＝4﹣t，FT＝BQ＝﹣t2+t+2，

∴F（t2﹣t+2，t﹣4），

設TF交y軸于點I，

∵tan∠OEG＝2＝tan∠OFI，

∴t﹣4＝﹣2（t2﹣t+2），解得t＝2或t＝0（舍），

∴P（2，3），

設直線PD的解析式為y=kx+b，則

，解得，

∴直線PD的解析式為y＝x+．