Question

【題目】如圖，直線l1解析式為y=x+2，且與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)P（﹣1，1）．點(diǎn)M是雙曲線在第四象限上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l2與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，當(dāng)四邊形ABCD的面積取最小值時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（　　）

A. （1，﹣1） B. （2，﹣） C. （3，﹣） D. 不能確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，有P（﹣1，1）在反比例函數(shù)圖象上求得解析式為y，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，進(jìn)而可得M點(diǎn)坐標(biāo)（a，）；再設(shè)直線l2的解析式為y=bx+c，根據(jù)條件“過點(diǎn)M的直線l2與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l2的解析式，求得用a表示的C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)．由A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，可得AC、BD的長(zhǎng)，因?yàn)?/span>AC⊥BD，有S四邊形ABCDACBD，據(jù)此得到一個(gè)關(guān)于a的式子，通過化簡(jiǎn)、配方即可求得S四邊形ABCD的最小值，故可得出a的值，由此得出結(jié)論．

∵直線l1解析式為y=x+2，且與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（﹣2，0），B（0，2）．

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y．

∵點(diǎn)P（﹣1，1）在反比例函數(shù)y的圖象上，∴k=xy=﹣1，∴反比例函數(shù)的解析式為y．

∵點(diǎn)M在第四象限，且在反比例函數(shù)y的圖象上，∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，），其中a＞0．

設(shè)直線l2的解析式為y=bx+c，則ab+c，∴cab，∴y=bxab．

∵直線y=bxab與雙曲線y只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程bxab即bx2﹣（ab）x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴[﹣（ab）]2﹣4b=（ab）2﹣4b=（ab）2=0，∴ab，∴b，c，∴直線l2的解析式為y，∴當(dāng)x=0時(shí)，y，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）；

當(dāng)y=0時(shí)，x=2a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a，0），∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（）=2．

∵AC⊥BD，∴S四邊形ABCDACBD（2a+2）（2）=4+2（a）=4+2[（）2+2]

=8+2（）2．

∵（）2≥0，∴S四邊形ABCD≥8，∴當(dāng)且僅當(dāng)（）2=0，即a=1時(shí)，四邊形有最小值，∴M（1，﹣1）．

故選A．