Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，過E作弦GF⊥BC交圓與G、F兩點，連接CF、BG．則下列結(jié)論：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．則其中正確的是（　　）

A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接BD、OC、AG、AC，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，從而有弧AC=弧AD，由垂徑定理的推論即可判斷①的正誤；

由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，結(jié)合∠P=∠DCO、等邊對等角的知識等量代換可得到∠PCO=90°，據(jù)此可判斷②的正誤；假設OD∥GF成立，則可得到∠ABC=30°，判斷由已知條件能否得到∠ABC的度數(shù)即可判斷③的正誤；求出CF=AG，根據(jù)垂徑定理和三角形中位線的知識可得到CQ=OZ，通過證明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，結(jié)合垂徑定理即可判斷④.

連接BD、OC、AG，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB，

∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，

∵∠AOD=2∠ABC，

∴∠ABC=∠ABD，

∴弧AC=弧AD，

∵AB是直徑，

∴CD⊥AB，

∴①正確；

∵CD⊥AB，

∴∠P+∠PCD=90°，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC=∠P，

∴∠PCD+∠OCD=90°，

∴∠PCO=90°，

∴PC是切線，∴②正確；

假設OD∥GF，則∠AOD=∠FEB=2∠ABC，

∴3∠ABC=90°，

∴∠ABC=30°，

已知沒有給出∠B=30°，∴③錯誤；

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵EF⊥BC，

∴AC∥EF，

∴弧CF=弧AG，

∴AG=CF，

∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，

∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，

∴OZ=CQ，

∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，

∴△OCQ≌△BOZ，

∴OQ=BZ=BG，

∴④正確．

故選：A．