Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點M在AC邊上，點N從點C出發沿折線CB﹣BA運動到點A停止，點P是點C關于直線MN的對稱點，連接MP，NP（當點N與點C，A重合時，點P均與點C重合）．

（1）若CM=2，
①又當點N在CB上，MP∥BC時，則CN= ， MN=；
（2）在（1）的條件下，求點P到AB邊的距離的最小值，并求出當取得這個最小值時，點P運動路線的長是多少？（參考數據：sin54°=cos36°≈ ，sin36°=cos54°≈ ，結果保留π）
（3）設MC=a（a＞2），其他條件不變，當有且只能有唯一的點P落在線段AB上時，直接寫出a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】
（1）2,2 ②又當MN∥AB時,求CN的長；解：當MN∥AB時,△MNC∽△ABC,∴ ,即 ,∴CN=
（2）解：P在M為圓心，CM為半徑的圓周上運動，

作MT⊥AB于T，如圖2所示：

則PT=MT﹣2，當MT最小時，P在線段MT上最小，

∵AB= =10，sinA= = = ，

∴MT= AM= （6﹣2）= ，

∴PT= ﹣2= ，

即點P到AB邊的距離的最小值為 ；

∵cos∠AMT=sinA= ，

∴∠AMT=36°，

∴∠CMT=180°﹣36°=144°，

∴點P運動路線的長= =

（3）a= 或3＜a≤6
【解析】解：（1）①連接CP，如圖1所示：

由對稱的性質得：PM=CM=2，PC⊥MN，

∵MP∥BC，∠C=90°，

∴∠PMC=90°，

∴△PMC是等腰直角三角形，

∴∠PCM=45°，

∴∠PCN=90°﹣45°=45°，

∴∠CNM=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴CN=CM=2，MN= CM=2 ；

所以答案是：2，2 ；

⑶分情況：①當圓M與AB相切時，sinA= ，

解得：a= ；②當 ＜a≤3時，圓M與AB有2個交點；③當3＜a≤6時，圓M與線段AB僅1個交點；

綜上所述：當a= 或3＜a≤6時，圓M與線段AB有1個交點；

即當有且只能有唯一的點P落在線段AB上時，a的取值范圍是a= 或3＜a≤6；

所以答案是：a= 或3＜a≤6．

【考點精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關系的相關知識點，需要掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點才能正確解答此題．