Question

【題目】在菱形ABCD中，AB=2 ，AC是對角線，∠B=60°，點E在BC邊上，點F在DC邊上，且∠EAF=60°，AE與DC的延長線交于點M，AF與BC的延長線交于點N．

（1）如圖1，若點E為BC邊上的中點．
①求證：△ACM≌△ACN；
（2）如圖2，若點E為BC邊上的任意點（不與點B，C重合），請說明CMNC是一個定值．

Answer 1

【答案】
（1）證明，∵AC是菱形ABCD的對角線，∠B=60°，點E為BC邊上的中點，

∴∠MAC=∠NAC=30°，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠ACM=∠ACN=120°．

在△ACM與△ACN中，

，

∴△ACM≌△ACN（ASA）

②CMNC的值是 ．

12

（2）證明：∵∠EAF=60°，即∠MAC+∠NAC=60°．

又∠ACD=60°，

∴∠MAC+∠AMC=60°，

∴∠AMC=∠NAC．

又∠ACM=∠ACN=120°，

∴△ACM∽△NCA，

∴ = ，

由題意可知，△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=2 ，

∴CMNC=AC2=（2 ）2=12，即CMNC是一個定值．

【解析】（1）②解：∵∠MAC=30°，∠ACM=120°，

∴∠AMC=30°，

∴CM=CA=2 ，

∵△ACM≌△ACN，

∴CM=CN，

∴CMNC=CM2=12．

故答案是：12；

【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．