Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是邊AB的高線，動點E從點A出發，以每秒1個單位的速度沿射線AC運動；同時，動點F從點C出發，以相同的速度沿射線CB運動．設E的運動時間為t（s）（t＞0）．

（1）AE＝　 　（用含t的代數式表示），∠BCD的大小是　 　度；

（2）點E在邊AC上運動時，求證：△ADE≌△CDF；

（3）點E在邊AC上運動時，求∠EDF的度數；

（4）連結BE，當CE＝AD時，直接寫出t的值和此時BE對應的值．

Answer 1

【答案】（1）t，45；（2）詳見解析；（3）90°；（4）t的值為﹣1或+1，BE=．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質即可解決問題；

（2）根據SAS即可證明△ADE≌△CDF；

（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；

（4）分兩種情形分別求解即可解決問題．

（1）由題意：AE=t．

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠ACD=45°．

故答案為：t，45．

（2）∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°．

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．

（3）∵點E在邊AC上運動時，△ADE≌△CDF，∴∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADC=90°．

（4）①當點E在AC邊上時，如圖1．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，∴CD=AD=DB=1，AC=BC．

∵CE=CD=1，∴AE=AC﹣CE1，∴t1．

∵BC=，∴BE===；

②當點E在AC的延長線上時，如圖2，AE=AC+EC1，∴t1．

∵BC=，∴BE===；

綜上所述：滿足條件的t的值為1或1，BE=．