Question

【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點P為BC邊上的一個動點(不與B.C重合)點P關于直線AC、AB的對稱點分別為M、N,連接MN交AC于點E,交AB于點F.

(1)當點P為線段BC的中點時,求∠M的正切值

(2)當點P在線段BC上運動時(不與B.C重合),連接AM、AN,求證：

①△AMN為等腰直角三角形

②△AEF∽△BAM

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；

【解析】

(1)連接NB,如圖1,先由△ACB為等腰直角三角形得到∠A=∠CBA=45°,則根據對稱的性質得AB垂直PN,BN=BP,則∠NBA=∠PBA=45°,所以∠PBN=90°,接著計算出MC=CP=PB=NB=1,然后利用正切的定義求解

(2)①連接AP,如圖2,利用對稱的性質得AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4,則∠MAN=90°,于是可判斷△AMN為等腰直角三角形

②利用△AMN為等腰直角三角形得到∠5=∠6=45°,再證明∠AEF=∠BAM,加上∠B=∠EAF=45°,則根據相似三角形的判定可判斷△AEF∽△BAM

(1)連接NB,如圖1

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC

∴△ACB為等腰直角三角形,

∴∠A=∠CBA=45°

∵點P關于直線AB的對稱點為,關于直線AC的對稱點為M,

∴AB垂直PN,BN=BP

∴∠NBA=∠PBA=45°

∴∠PBN=90°,

∵點P為BC的中點,BC=2,

∴MC=CP=PB=NB=1

∴tan∠M=

(2)證明:①連接AP,如圖2,

∵點P關于直線AC、AB的對稱點分別為M、N

∴AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠CAB=∠2+∠3=45°

∴∠MAN=90°

∴△AMN為等腰直角三角形

②∵△AMN為等腰直角三角形

∴∠5=∠6=45°

∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1，

∵∠EAF=45°

∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1

∴∠AEF=∠BAM,

又∵∠B=∠EAF=45°

∴△AEF∽△BAM