Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線軸，且直線l與拋物線和y軸分別交于點A，B，C，點D為拋物線的頂點.若點E的坐標為，點A的橫坐標為1.

(1)線段AB的長度等于________；

(2)點P為線段AB上方拋物線上的一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當的面積最大時，求的最小值；

(3)在(2)的條件下，刪除拋物線在直線PH左側部分圖象并將右側部分圖象沿直線PH翻折，與拋物線在直線PH右側部分圖象組成新的函數M的圖象.現有平行于FH的直線，若直線與函數M的圖象有且只有2個交點，求t的取值范圍(請直接寫出t的取值范圍，無需解答過程).

Answer 1

【答案】(1)2 (2) (3) t的取值范圍為：t＜．

【解析】

（1）先求拋物線y=-x2+4x的對稱軸，由于已知點A的坐標，再利用對稱性可求點B坐標；從而得AB的長度；
（2）先根據B和E坐標得出BE的解析式，然后設與其平行的直線為y=x+b，過點H作y=-x的垂線，可求得HF和FO，從而得解；
（3）可根據頂點位置的變動，得出拋物線y=-x2+4x右側部分圖象沿直線PH翻折后拋物線的解析式；由（2）FH直線解析式，平行于FH的直線l1：y=mx+t，其m值可求；令y=mx+t與翻折后拋物線相切，可求得t的臨界值，結合圖象可得最后答案．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+4x的對稱軸為直線．

∵點A的橫坐標為1．代入y＝﹣x2+4x得：y＝3，

∴A（1，3），由拋物線的對稱性得：點B的坐標為（3，3）．

∴AB＝2．

故答案為：2．

（2）∵B（3，3），E（1，1），

∴直線BE解析式為y＝x，作l∥BE，且與拋物線相切，則可設l的解析式為：y＝x+b．根據該直線與拋物線相切，列一元二次方程，令其判別式為0，可求得b的值，從而得點P的坐標，進而得點H坐標及PH長，

∴x+b＝﹣x2+4x，即x2﹣3x+b＝0，

∴△＝9﹣4b＝0，b＝，

∴x2﹣3x+＝0，

∴切點為：x＝，y＝，

∴PH＝﹣3＝

過點H作y＝﹣x的垂線，交y＝﹣x于點G，交y軸于點F，則GF＝FO，∠FGO＝∠OFG＝∠CFH＝∠CHF＝45°，

．

∴PH+HF+FO的最小值為：．

（3）在（2）的條件下，平行于FH的直線l1：y＝mx+t，若直線l1與函數M的圖象有且只有2個交點，

∵∠CFH＝45°，l1∥FH，

∴m＝1，y＝x+t，

∵拋物線y＝﹣x2+4x的頂點D為（2，4），點H為（，3）點P為（，），

∴拋物線y＝﹣x2+4x右側部分圖象沿直線PH翻折后拋物線頂點為（1，4），其解析式為y＝﹣x2+2x+3．

當直線y＝x+t與拋物線y＝﹣x2+2x+3相切時，x+t＝﹣x2+2x+3，

∴x2﹣x+t﹣3＝0，△＝1﹣4（t﹣3）＝13﹣4t＝0

∴t＝；

∴t＜時直線l1與函數M的圖象有且只有2個交點．

∴t的取值范圍為：t＜．