Question

【題目】如圖1，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，點E在線段OA上，EP⊥OA交AB于點N，PM⊥AB，直線PB與AO交于點F．

（1）若AN＝3，S△PBN＝8，求PN的長；

（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若△PFE～△BAO且＝，求OE的長；

（3）如圖2，若OE＝2，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α （0°＜α＜90°），連接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．

Answer 1

【答案】（1）PN＝10；（2）OE＝；（3）

【解析】

（1）證明△PMN∽△AOB，可得，由此即可解決問題．

（2）如圖1﹣2中，作BK⊥PN于K，設(shè)PN＝6k．利用等腰三角形的性質(zhì)證明PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k，由△PMN∽△AEN，且，推出，推出AN＝10k，可得AB＝15k＝5，解得k＝，由此即可解決問題．

（3）如圖3中，在BO上取一點的K，使得OK＝，連接KE′，KA．證明△OKE′∽△OE′B，推出E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3，推出E′K＝BE′，推出AE′+BE′＝AE′+KE′，由AE′+KE′≥AK，求出AK即可解決問題．

解：（1）如圖1﹣1中，

在Rt△AOB中，∵OB＝3，OA＝4，

∴AB＝，

∵AN＝3，

∴BN＝AB﹣AN＝2，

∵PM⊥AM，

∴S△PBN＝＝8，

∴PM＝8，

∵PE⊥OA，

∴∠AEN＝∠AOB＝∠M＝90°，

∴OB∥PN，

∴∠ABO＝∠PNM，

∴△PMN∽△AOB，

∴，

∴，

∴PN＝10．

（2）如圖1﹣2中，作BK⊥PN于K，設(shè)PN＝6k．

∵△PFE∽△BAO，

∴∠F＝∠A，

∵PK∥AF，

∴∠PBK＝∠∠KBN＝∠A，

∴∠PBK＝∠KBN，

∵BK⊥PN，

∴∠BKP＝∠BKN＝90°，

∴∠BPK+∠PBK＝90°，∠BNK+∠KBN＝90°，

∴∠BPK＝∠BNK，

∴BP＝BN，

∴PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k，

∵△PMN∽△AEN，且，

∴，

∴AN＝10k，

∴AB＝15k＝5，

∴k＝，

∴BK＝，

∵四邊形BOEK是矩形，

∴OE＝BK＝．

（3）如圖3中，在BO上取一點的K，使得OK＝，連接KE′，KA．

∵OE′2＝4，OKOB＝×3＝4，

∴OE′2＝OKOB，

∴，

∵∠KOE′＝∠BOE′，

∴△OKE′∽△OE′B，

∴E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3，

∴E′K＝BE′，

∴AE′+BE′＝AE′+KE′，

∵AE′+KE′≥AK，AK＝，

∴AE′+BE′≥，

∴E'A+E'B的最小值為．