Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求點D的坐標；

（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）點D的坐標為（，﹣5）；（3）△BCE的面積有最大值，點E坐標為（，﹣）．

【解析】

（1）先求出點A，C的坐標，再將其代入y＝x2+bx+c即可；

（2）先確定BC交對稱軸于點D，由兩點之間線段最短可知，此時AD+CD有最小值，而AC的長度是定值，故此時△ACD的周長取最小值，求出直線BC的解析式，再求出其與對稱軸的交點即可；

（3）如圖2，連接OE，設點E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面積S與a的函數關系式，由二次函數的圖象及性質可求出△BCE的面積最大值，并可寫出此時點E坐標．

解：（1）∵OA＝2，OC＝6，

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），

將A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，b＝﹣1，c＝﹣6，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣6；

（2）在y＝x2﹣x﹣6中，

對稱軸為直線x＝，

∵點A與點B關于對稱軸x＝對稱，

∴如圖1，可設BC交對稱軸于點D，由兩點之間線段最短可知，此時AD+CD有最小值，

而AC的長度是定值，故此時△ACD的周長取最小值，

在y＝x2﹣x﹣6中，

當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝3，

∴點B的坐標為（3，0），

設直線BC的解析式為y＝kx﹣6，

將點B（3，0）代入，

得，k＝2，

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣6，

當x＝時，y＝﹣5，

∴點D的坐標為（，﹣5）；

（3）如圖2，連接OE，

設點E（a，a2﹣a﹣6），

S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC

＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6

＝﹣a2+a

＝﹣（a﹣）2+，

根據二次函數的圖象及性質可知，當a＝時，△BCE的面積有最大值，

當a=時,

∴此時點E坐標為（，﹣）．