Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(4，0)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)P(m，n)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CA，CD，PD，PB.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，過點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段EG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣0．5x2+1．5x+2；（2）可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，3）或（，3）；（3）線段EG的最小值是．

【解析】

試題（1）已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），用待定系數(shù)法，求出該拋物線的解析式即可．

（2）已知△PDB的面積等于△CAD的面積，根據(jù)已知條件求出△CAD的面積，即可求出△PDB的面積，然后根據(jù)點(diǎn)D、點(diǎn)B的坐標(biāo)求出BD的長(zhǎng)，即可求出△PDB邊BD上的高，也就是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，分兩種情況，點(diǎn)P在x軸的上方，點(diǎn)P在x軸的下方，再把它分別代入拋物線的解析式，求出x的值，即可判斷出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）已知點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法，求出直線BC的解析式；然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），PF∥x軸，且點(diǎn)F在直線BC上，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再由勾股定理得出EG2與n之間的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得EG2的最小值，即可得線段EG的最小值．

試題解析： 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2中，可得

解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣0．5x2+1．5x+2．

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣0．5x2+1．5x+2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0．2），

∵點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)D（2，0），

∴AD=2﹣（﹣1）=3，

∴△CAD的面積=，

∴△PDB的面積=3，

∵點(diǎn)B（4，0）、點(diǎn)D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或﹣3，

①當(dāng)n=3時(shí)，

0．5m2+1．5m+2=3，

解得m=或m=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，3）或（，3）．

②當(dāng)n=﹣3時(shí)，

0．5m2+1．5m+2=﹣3，

整理，可得

m2+3m+10=0，

∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，

∴方程無解．

綜上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，3）或（，3）．

（3）如圖1，，

設(shè)BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），

∴

解得

∴BC所在的直線的解析式是：y=﹣0．5x+2，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4-2n，n），

∴EG2=（4-2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5+，

∵n＞0，

∴n=時(shí)，線段EG2的最小值是，

即線段EG的最小值是．