Question

【題目】如圖1，直線y＝kx+1與x軸、y軸分別相交于點A、B，將△AOB繞點A順時針旋轉，使AO落在AB上，得到△ACD，將△ACD沿射線BA平移，當點D到達x軸時運動停止．設平移距離為m，平移后的圖形在x軸下方部分的面積為S，S關于m的函數圖象如圖2所示（其中0＜m≤2，2＜m≤a時，函數的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　，k＝　 　；

（2）求S關于m的解析式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=4, k＝﹣；（2）S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）

【解析】

（1）先由函數圖象變化的特點，得出m=2時的變化是三角形C點與A點重合時，從而得AC的值，進而得點A坐標，易求得點B坐標，從而問題易解得；
（2）當0＜m≤2時，平移后的圖形在x軸下方部分為圖中△AA′N；2＜m≤4時，平移后的圖形在x軸下方部分的面積S為三角形ANA′的面積減去三角形AQC的面積．

（1）從圖2看，m＝2時的變化是三角形C點與A點重合時，

∴AC＝2，

又∵OA＝AC

∴A（2，0），

∴k＝﹣，

由平移性質可知：∠FEM＝∠FAM＝∠DAC＝∠BAO，

從圖中可知△EFM≌△AFM（AAS）

∴AM＝EM，

∴AM＝2，

∴a＝4；

（2）當0＜m≤2時，平移后的圖形在x軸下方部分為圖中△AA′N，則AA′＝m，翻折及平移知，

∠NAA′＝∠NA′A，

∴NA＝NA′，

過點N作NP⊥AA′于點P，則AP＝A′P＝，

由（1）知，OB＝1，OA＝2，則tan∠OAB＝，

則tan∠NAA′＝，

∴NP＝＝，

∴S＝×AA′×NP＝×m×＝

2＜m≤4時，如下圖所示，可知CC′＝m，AC′＝m﹣2，AA′＝m，

同上可分別求得則AP＝A′P＝，NP＝＝，C′Q＝

∴S＝S△AA′N﹣S△AQC′＝﹣（m﹣2）×＝﹣+m﹣1

綜上，S關于m的解析式為：S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）