Question

【題目】（定義）數學課上，陳老師對我們說，如果1條線段將一個三角形分成2個等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個三角形的“好線”，如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個三角形的“好好線”．

（理解）如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請你在這個三角形中畫出它的“好線”，并標出等腰三角形頂角的度數．

如圖②，已知△ABC是一個頂角為45°的等腰三角形，請你在這個三角形中畫出它的“好好線”，并標出所分得的等腰三角形底角的度數．

（應用）

(1)在△ABC中，已知一個內角為42°，若它只有“好線”，請你寫出這個三角形最大內角的所有可能值______；

(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分別是△ABC的“好好線”，點D在BC邊上，點E在AB邊上，且AD＝DC，BE＝DE，請你根據題意畫出示意圖，并求∠B的度數．

Answer 1

【答案】【定義】見解析；【應用】(1)84°或103.5°或124°或117°或126°；(2)畫圖見解析；∠B＝42°或18°.

【解析】

【定義】

如圖①，如圖②所示，根據題意畫出圖形即可；
【應用】（1）①如圖③當∠B=42°，AD為“好線”，②如圖④當∠B=42°，AD為“好線”，③如圖⑤當∠ABC=42°時，BD為“好線”，④如圖⑥，當∠B=42°時，CD為“好線”，⑤如圖⑦，當∠B=42°時，CD為“好線”，根據等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）設∠B=x°，①當AD=DE時，如圖1（a），②當AD=AE時，如圖1（b），③當EA=DE時，根據等腰三角形的性質列方程即可得到結論．

解：(定義)如圖①，如圖②所示，

（應用）

(1)①如圖③當∠B＝42°，AD為“好線”，

則AD＝AD＝BD，故這個三角形最大內角是∠C＝84°；

②如圖④當∠B＝42°，AD為“好線”，

則AB＝AD，AD＝CD，這個三角形最大內角是∠BAC＝103.5°；

③如圖⑤當∠ABC＝42°時，BD為“好線”，

則AD＝BD，CD＝BC，故這個三角形最大內角是∠C＝124°，

④如圖⑥，當∠B＝42°時，CD為“好線”，

則AD＝CD＝BC，故這個三角形最大內角是∠ACB＝117°，

⑤如圖⑦，當∠B＝42°時，CD為“好線”，

則AD＝AC，CD＝BD，故這個三角形最大內角是∠ACB＝126°，

綜上所述，這個三角形最大內角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，

故答案為：84°或103.5°或124°或117°或126°；

(2)設∠B＝x°，

①當AD＝DE時，如圖1(a)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠DAE＝2x°，

∴27×2+2x+x＝180，

∴x＝42，

∴∠B＝42°；

②當AD＝AE時，如圖1(b)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠ADE＝2x°，

∴2x+x＝27+27，

∴x＝18，

∴∠B＝18°．

③當EA＝DE時，

∵90﹣x+27+27+x＝180，

∴x不存在，應舍去．

綜合上述：滿足條件的x＝42°或18°．