Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分別平分∠ADC，∠ABC，并交線段AB，CD于點E，F（點E，B不重合）．在線段BF上取點M，N（點M在BN之間），使BM＝2FN．當點P從點D勻速運動到點E時，點Q恰好從點M勻速運動到點N．記QN＝x，PD＝y，已知，當Q為BF中點時，．

（1）判斷DE與BF的位置關系，并說明理由；

（2）求DE，BF的長；

（3）若AD＝6．①當DP＝DF時，通過計算比較BE與BQ的大小關系；②連結PQ，當PQ所在直線經過四邊形ABCD的一個頂點時，求所有滿足條件的x的值．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2） ；（3）①；②

【解析】

（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；

（2）求出DE=12，MN=10，把代入，解得：x=6，得到NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=2，BM=4，即可得出結果；

（3）①連接EM并延長交BC于點H，易證四邊形DFME是平行四邊形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得 ，,當DP=DF時 ，求出 ，得到BQ＞BE；

②（Ⅰ）當PQ經過點D時，y=0，則x=10；

（Ⅱ）當PQ經過點C時，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，則，即可求得 ；

（Ⅲ）當PQ經過點A時，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，則 ，根據勾股定理得 ,則 ， ；由圖可知，PQ不可能過點B．

解：（1）DE與BF的位置關系為：DE∥BF，理由如下：
如圖1所示：

∵∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，
∵DE、BF分別平分∠ADC、∠ABC，

∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴DE∥BF；

（2）令x=0，得y=12，
∴DE=12，
令y=0，得x=10，
∴MN=10，

把代入，

解得：x=6，即NQ=6，
∴QM=10-6=4，
∵Q是BF中點，
∴FQ=QB，
∵BM=2FN，
∴FN+6=4+2FN，
解得：FN=2，
∴BM=4，
∴BF=FN+MN+MB=16；

（3）①連接EM并延長交BC于點H，如圖2所示：

∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，
∴四邊形DFME是平行四邊形，
∴DF=EM，
∵AD=6，DE=12，∠A=90°，
∴∠DEA=30°，
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，
∴∠DFM=∠DEM=120°，
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，
∴∠MEB=∠FBE=30°，
∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4，

，

∴EH=4+2=6，
由勾股定理得： ，

∴ ，

當DP=DF時， ，

解得： ，

，

，

BQ＞BE；
②（Ⅰ）當PQ經過點D時，如圖3所示：

y=0，則x=10；
（Ⅱ）當PQ經過點C時，如圖4所示：

∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，

，

CD=8+4=12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，

∴ ，

∴ ，

解得： ；

（Ⅲ）當PQ經過點A時，如圖5所示：

∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，

∴ ，

根據勾股定理得： ,

∴ ，

，

解得： ；

由圖可知，PQ不可能過點B；
綜上所述，當x=10或或時，PQ所在的直線經過四邊形ABCD的一個頂點．