Question

【題目】在平面直角坐標系中，設二次函數y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是實數，a≠0）．

（1）若函數y1的對稱軸為直線x＝3，且函數y1的圖象經過點（a，b），求函數y1的表達式．

（2）若函數y1的圖象經過點（r，0），其中r≠0，求證：函數y2的圖象經過點（，0）．

（3）設函數y1和函數y2的最小值分別為m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）見解析；（3）m＝n＝0．

【解析】

（1）利用待定系數法解決問題即可．

（2）函數y1的圖象經過點（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+＝0，即a（）2+b+1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得結論．

（3）由題意a＞0，可得m＝，n＝，根據m+n＝0，構建方程可得結論．

解：（1）由題意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，

∵函數y1的圖象經過（a，﹣6），

∴a2﹣6a+a＝﹣6，

解得a＝2或3，

∴函數y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．

（2）∵函數y1的圖象經過點（r，0），其中r≠0，

∴r2+br+a＝0，

∴1+＝0，

即a（）2+b+1＝0，

∴是方程ax2+bx+1的根，

即函數y2的圖象經過點（，0）．

（3）由題意a＞0，∴m＝，n＝，

∵m+n＝0，

∴+0，

∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，

∵a+1＞0，

∴4a﹣b2＝0，

∴m＝n＝0．