Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD和∠BCD的平分線AE，CF分別交DC，BA的延長線于點E，F，交邊BC，AD于點H，G．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質，結合角平分線的定義可證得AE∥CF，結合AF∥CE，可證得結論；

（2）由條件可證得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性質可求得DG與AG的關系，結合條件可求得AG的長，從而可求得答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，

∵AE、CF分別平分∠BAD∠BCD，

∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，

∴AE∥CF，

∵AF∥CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：由（1）可知∠BCF=∠DCF=∠F，

∴BF=BC=AD=8，

∵AB=CD=5，

∴AF=BF﹣AB=3，

∵BF∥DE，

∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，

∴△DCG∽△AFG，

∴=，

∴DG=AG，

∴AD=AG+DG=AG=8，

∴AG=3，

∴AF+AG=3+3=6．