Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，DC與⊙O相切于點C，交AB的延長線于點D．

（1）求證：∠BAC＝∠BCD；

（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角為直角以及圓的切線垂直于經過切點的半徑，可得∠OCD＝∠OCB+BCD＝90°，∠ACB＝∠OCB+ACO＝90°，于是∠ACO＝∠BCD，又OA＝OC，所以∠ACO＝∠BAC，因此∠BAC＝∠BCD；

（2）易證△CDB∽△ADC，由BD＝4，DC＝6通過相似比求出DA的長，然后求出AB，從而求出⊙O的半徑．

解：（1）如圖，連接OC．

證明：∵DC與⊙O相切，

∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，

∴∠ACO＝∠BCD

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠BCD；

（2）由（1）可得，∠BAC＝∠BCD；

∵∠CDB＝∠ADC，

∴△CDB∽△ADC，

∴ 即

∴DA＝9

∴AB＝DA﹣BD＝9﹣4＝5，

∴⊙O的半徑為．