Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，，與軸交于點.點是軸下方的拋物線上一動點（包含點,）．作直線，若過點作軸的垂線，交直線于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在點運動的過程中，請求出面積的最大值及此時點的坐標；

（3）在點運動的過程中，是否存在點，使是等腰三角形．若存在，請直接寫出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最大值為5，此時點的坐標為；（3）存在，點的橫坐標為2，1.5或．

【解析】

（1）將A、B兩點坐標代入函數解析式計算即可；

（2）先求出直線BC的解析式，設點的橫坐標為，當點在直線下方時，，先求出PQ的最大值，進而得到面積的最大值及此時點的坐標，當點在直線上方時，，同樣求出PQ的最大值，進而得到面積的最大值及此時點的坐標，最后兩者比較大小即可；

（3）分別討論當CQ=CP，CQ=QP及CP=QP時，畫出相應圖形，構造直角三角形利用勾股定理計算即可．

解：（1）根據題意，拋物線的解析式可寫為：，

即，

，.

∴ 該拋物線的解析式為.

（2）如圖，連接，.

將代入得，.

.

設直線的解析式為.

將，代入得，

解得

∴直線的解析式為：.

設點的橫坐標為，

當點在直線下方時，，

則，，

，

∴當時，最大，此時，.

∴面積的最大值為：.

當點在直線上方時，，

∴

∴當時，最大，此時，.

∴面積的最大值為：.

∵，

∴面積的最大值為5，此時點的坐標為

（3）設點的橫坐標為，則，，

∴PQ=||=||，

如圖，當CQ=CP時，過點C作CH⊥PQ，

則PQ=2QC，

∵點C（0，-2），

∴QC=||=||，

∴||=2||，

解得m=2或m=0（舍去）

如圖，當CQ=QP時，則CQ=QP=||，

過點C作CH⊥PQ，則CH=|m|，QH=||，

在Rt△QCH中，QC2=QH2+CH2，

∴，

解得m=或m=（舍去）或m=0（舍去），

如圖，當CP=QP時，則CP=QP=||，

過點C作CH⊥PQ，則CH=|m|，PH=||=||，

在Rt△PCH中，PC2=PH2+CH2，

∴，

解得m=1.5，

∴存在點，使是等腰三角形，點的橫坐標為2，1.5或.