Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線1交拋物線于點Q．

（1）求點A、點B、點C的坐標；

（2）當點P在線段OB上運動時，直線1交直線BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（3）點P在線段AB上運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）m＝2時，四邊形CQMD是平行四邊形；（3）存在，點Q（3，2）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）令拋物線關系式中的x＝0或y＝0，分別求出y、x的值，進而求出與x軸，y軸的交點坐標；

（2）用m表示出點Q，M的縱坐標，進而表示QM的長，使CD＝QM，即可求出m的值；

（3）分三種情況進行解答，即①∠MBQ＝90°，②∠MQB＝90°，③∠QMB＝90°分別畫出相應圖形進行解答．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+x+2，當x＝0時，y＝2，因此點C（0,2），

當y＝0時，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此點A（﹣1,0），B（4,0），

故：A（﹣1,0），B（4,0），C（0,2）；

（2）∵點D與點C關于x軸對稱，∴點D（0,﹣2），CD＝4，

設直線BD的關系式為y＝kx+b，把D（0,﹣2），B（4,0）代入得，

，解得，k＝，b＝﹣2，

∴直線BD的關系式為y＝x﹣2

設M（m,m﹣2），Q（m,﹣m2+m+2），

∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2）＝﹣m2+m+4，

當QM＝CD時，四邊形CQMD是平行四邊形；

∴﹣m2+m+4＝4，

解得m1＝0（舍去），m2＝2，

答：m＝2時，四邊形CQMD是平行四邊形；

（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，

①若∠MBQ＝90°時，如圖1所示，

當△QBM∽△BOD時，QP＝2PB，

設點P的橫坐標為x，則QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，

于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），

解得，x1＝3，x2＝4（舍去），

當x＝3時，PB＝4﹣3＝1，

∴PQ＝2PB＝2，

∴點Q的坐標為（3，2）；

②若∠MQB＝90°時，如圖2所示，此時點P、Q與點A重合，

∴Q（﹣1，0）；

③由于點M在直線BD上，因此∠QMB≠90°，這種情況不存在△QBM∽△BOD．

綜上所述，點P在線段AB上運動過程中，存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似，

點Q（3，2）或（﹣1，0）．