Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一點，△ABE沿BE折疊，點A恰好落在線段CE上的點F處．

（1）求證：CF＝DE；

（2）設＝m．

①若m＝，試求∠ABE的度數；

②設＝k，試求m與k滿足的關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①∠ABE=15°，②m2＝2k﹣k2．

【解析】

（1）通過折疊前后兩個圖像全等，然后證明△CED≌△BCF即可；（2）由題知AB=BF，BC=AD通過＝，得出=，判斷角度求解即可，由＝m，＝k 的得出邊之間的關系，在通過Rt△CED建立勾股定理方程化簡即可求出

（1）證明：由折疊的性質可知，∠BEA＝∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠EBC，

∴∠BEF＝∠EBC，

∴BC＝CE；

∵AB=BF=CD, △CED和△BCF都為直角三角形

∴△CED≌△BCF

∴CF＝DE；

（2）解：①由（1）得BC＝CE

∵BC=AD

∴AD=CE

∵AB=BF

∴＝=

∵BCF都為直角三角形

∴∠FBC=60°

∴∠ABE=

②∵＝k，＝m，

∴AE＝kAD，AB＝mAD，

∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），

在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，

整理得，m2＝2k﹣k2．