Question

【題目】已知拋物線C：y=（-a2+a）x2+x+1（a≠0）

（1）無論a為何值，拋物線C總是經過一個定點，該定點的坐標為_____．

（2）無論a為何值，該拋物線的頂點總在一條固定的直線上運動，求出該直線的解析式．

（3）當0＜y≤2時，y＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）；（3）0＜a＜1，或.

【解析】

（1）函數的常數項為1，所以過定點（0，1）；

（2）求出頂點坐標公式，令，代入即可；

（3））①當-a2+a＞0時，即0＜a＜1，當0＜a＜1，0＜x≤2時，y＞0恒成立，②當-a2+a＜0時，即a＞1或a＜0，當0＜x≤2時，y＞0恒成立則x=2時，y＞0；

（1）無論a為何值，拋物線C總是經過一個定點，（0，1）；

（2）y=（-a2+a）x2+x+1的頂點為（，），

設x=，y=，

則，

∴y===，

（3）①當-a2+a＞0時，即0＜a＜1，

∴拋物線開口向上，對稱軸x=在y軸左側，

∴當0＜x≤2時，y隨x的增大而增大，

∴當x=2時，y＞0

∴當0＜a＜1，0＜x≤2時，y＞0恒成立，

②當-a2+a＜0時，即a＞1或a＜0，

∴拋物線開口向下

∵拋物線與y軸交于點（0，1），

當0＜x≤2時，y＞0恒成立

∴當x=2時，y＞0，

即4（-a2+a）+3＞0，

解得或，

綜上，0＜a＜1，或；