Question

【題目】定義：對于線段和點，當，且時，稱點為線段的“等距點”．特別地，當，且時，稱點為線段的“強等距點”．在平面直角坐標系中，點的坐標為．

（1）有4個點：，，，．線段的“等距點”是 ；其中線段的“強等距點”是 ．

（2）設第四象限有一點，點是線段的“強等距點”．

①當時，求點的坐標；

②當點又為線段的“等距點”時，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，；；（2）①或，②.

【解析】

（1）由定義可知，線段的“等距點”在線段OA的垂直平分線上，從而得出點，，都在直線x=上，再通過銳角三角函數判斷∠OBA=120°即可解答；

（2）①如圖所示，過點F作FH⊥x軸于點H，作FK⊥y軸于點K，利用銳角三角函數得出∠HOF=∠OFK=30°，根據“強等距點”的概念得到點G在OH上或點G在KF上，再進行分類討論，利用勾股定理表達出OG=FG即可解答；

②由（1）可知，線段OA的“等距點”都在直線x=上，過點G作GQ⊥x軸于點Q，則GQ=-t，OQ=，根據定義以及等腰三角形的性質得到∠GOA=60°，利用tan∠GOA得到點G的坐標，結合OA∥GF即可確定m的值．

解：（1）由定義可知，線段的“等距點”在線段OA的垂直平分線上，

∵點A，

∴線段OA的垂直平分線為直線x=，

如圖所示，點，，都在直線x=上，

設直線x=交x軸于點Q，連接OB，AB，

∴OQ=，BQ=1，OB=OA，

∴tan∠OBQ=，

∴∠OBQ=60°，

∴∠OBA=2∠OBQ=120°，

∴點是線段的“強等距點”，

連接OC，AC，OD，AD，

由圖可知，∠OCA＜∠OBA=120°，∠ODA＜∠OBA=120°，

∴，，是線段的“等距點”，

故答案為：B，C，D；B；

（2）①當時，，

如圖所示，過點F作FH⊥x軸于點H，作FK⊥y軸于點K，

則FH=2，OH=FK=，

∵tan∠HOF=，

∴∠HOF=30°，

∵OH∥FK，

∴∠HOF=∠OFK=30°，

∵點是線段的“強等距點”，

∴∠OGF=120°且OG=FG，

∴∠GOF=∠GFO=30°，

∴點G在OH上或點G在KF上，

（i）當點G在OH上時，設點G（a,0）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴G，

（ii）當點G在FK上時，設點G（b,-2）

∵OG=FG

∴，解得：，

∴

綜上所述，或

②由①可知，點G在x軸上或直線y=上，

由（1）可知，線段OA的“等距點”都在直線x=上，

∴設點G（,t），且t≥1或t≤-1，

∴點G在第四象限，

如下圖所示，過點G作GQ⊥x軸于點Q，則GQ=-t，OQ=，

∵點是線段的“強等距點”，

∴∠OGF=120°，OG=FG，

∴∠OGF=∠OFG=30°，

由①可知，∠AOF=30°，

∴OA∥GF，∠GOA=60°，

∴tan∠GOA=，

∴t=-3，

∴，

解得．