Question

【題目】定義：如圖1，對(duì)于直線同側(cè)的、兩點(diǎn)，若在上的點(diǎn)滿足，則稱為、兩點(diǎn)在上的反射點(diǎn)，與的和稱為、兩點(diǎn)的反射距離．

（1）如圖2，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，為、兩點(diǎn)在直線上的反射點(diǎn)，求、兩點(diǎn)的反射距離；

（2）如圖3，內(nèi)接于，直徑為4，，點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為、兩點(diǎn)在上的反射點(diǎn)，當(dāng)、兩點(diǎn)的反射距離最大時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)；

（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，若點(diǎn)為點(diǎn)、在上的反射點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)為點(diǎn)、在上的反射點(diǎn)．

①請(qǐng)判斷線段和的位置關(guān)系，并給出證明；

②求、兩點(diǎn)的反射距離與、兩點(diǎn)的反射距離的比值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，證明見解析；②

【解析】

（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，結(jié)合公共邊和直角相等證明，然后進(jìn)一步根據(jù)勾股定理求解即可；

（2）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由此得出，進(jìn)一步證明、、三點(diǎn)共線，然后利用當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，反射距離最大進(jìn)一步求解即可；

（3）①根據(jù)題意得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)一步求出∠CHD是直角，由此證明結(jié)論即可；②根據(jù)題意先后證明、，利用全等三角形性質(zhì)得出點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出BM，然后過C點(diǎn)作于點(diǎn)G，進(jìn)一步通過證明得出，利用相似三角形性質(zhì)求出ON，再根據(jù)勾股定理求出AN，據(jù)此進(jìn)一步求解即可.

（1）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，，

∴，

又∵，，

∴，

∴，，

∴；

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，

則，

∴ ，

又∵，，

∴，

∴、、三點(diǎn)共線，

∴當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，反射距離最大．

此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，求得：，

∴劣弧；

（3）①如圖延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

由題可得：，，

∴∠1=45°，

設(shè)∠ACB=∠DCO=，∠CDO=∠BDA=，

∵，∠1=45°，

∴，，，

∴，

∴；

②∵，

∴，

∵點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，

∴B點(diǎn)在OA的垂直平分線上，

∴OB=AB，

∵∠1=45°，

∴∠ABC=90°，

在△BOM與△ABC中，

∵，OB=BA，∠BOM=∠CBA，

∴△BOM△ABC，

∴，

∵∠1=45°，

∴∠MOD=∠1=45°，

∵∠MDO=∠BDA，∠BDA=∠CDO，

∴∠MDO=∠CDO，

在△CDO與△MDO中，

∵∠1=∠MOD，OD=OD，∠MDO=∠CDO，

∴△CDO△MDO，

∴，

則為的中點(diǎn)，，

過C點(diǎn)作于點(diǎn)G，則，，

∵，

∴CG∥OA，

∴△NGC~△NOA，

∴，

∴，

∴，

∴.