Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OT，

∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA。

又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT。∴∠DAT=∠OTA。

∴OT∥AC。

又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT。

∵OT是⊙O的半徑，∴CT為⊙O的切線。

（2）過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點，

∵CT⊥AC，∴OE∥CT。∴四邊形OTCE為矩形。

∵CT=，∴OE=。

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，。

∴AD=2AE=2。

【解析】

試題（1）連接OT，根據角平分線的性質，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線。

（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解。