Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E兩點分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)：當α＝0°時，的值為　 　；

（2）拓展探究：當0°≤α＜360°時，若△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖2的情況時，求出的值；

（3）問題解決：當△EDC旋轉(zhuǎn)至A，B，E三點共線時，若設(shè)CE＝5，AC＝4，直接寫出線段BE的長　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）7或1．

【解析】

（1）先證△DEC為等腰直角三角形，求出，再通過平行線分線段成比例的性質(zhì)可直接寫出的值；

（2）證△BCE∽△ACD，由相似三角形的性質(zhì)可求出的值；

（3）分兩種情況討論，一種是點E在線段BA的延長線上，一種是點E在線段BA上，可分別通過勾股定理求出AE的長，即可寫出線段BE的長．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠B=45°．

∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，

∴△DEC為等腰直角三角形，

∴cos∠C．

∵DE∥AB，

∴．

故答案為：；

（2）由（1）知，△BAC和△CDE均為等腰直角三角形，

∴．

又∵∠BCE=∠ACD=α，

∴△BCE∽△ACD，

∴，

即；

（3）①如圖3﹣1，當點E在線段BA的延長線上時．

∵∠BAC=90°，

∴∠CAE=90°，

∴AE3，

∴BE=BA+AE=4+3=7；

②如圖3﹣2，當點E在線段BA上時，

AE3，

∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1．

綜上所述：BE的長為7或1．

故答案為：7或1．