Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O在BC邊上，以OC為半徑作⊙O，與AB切于點D，與邊BC，AC分別交于點E，F，且弧DE＝弧DF．

（1）求證：△ABC是直角三角形．

（2）連結CD交OF于點P，當cos∠B＝時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理得出∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性質得出∠OCD＝∠ODC，即可得到∠ODC＝∠ACD，得出OD∥CA，根據平行線的性質即可得出結論；

（2）連接EF，根據圓周角定理得出∠EFC＝90°，進而證得AB∥EF，平行線的性質得出∠CEF＝∠B，得出cos∠CEF＝cos∠B＝，設OC＝OD＝OE＝a，則EF＝a，即可求得CF＝a，由△PDO∽△PCF，即可證得＝＝ ．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵⊙O與AB切于點D，

∴OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∵弧DE＝弧DF．

∴∠ACD＝∠BCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ODC＝∠ACD，

∴OD∥CA，

∴∠BAC＝∠BDO＝90°，

∴△ABC是直角三角形；

（2）解：連接EF，∵CE是直徑，

∴∠EFC＝90°，

∴∠BAC＝∠EFC，

∴AB∥EF，

∴∠CEF＝∠B，

∴cos∠CEF＝cos∠B＝，

設OC＝OD＝OE＝a，則EF＝a，

∴CF＝a，

∵OD∥CF，

∴△PDO∽△PCF，

∴＝＝．