Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點．

(1)求拋物線相應的函數表達式；

(2)點M是線段BC上的點(不與B、C重合)，過M作MN∥y軸交拋物線于N，連接NB．若點M的橫坐標為t，是否存在t，使MN的長最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，請說明理由；

(3)若對一切x≥0均有ax2+bx+c≤mx-m+13成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，sin∠MBN=；(3)-6≤m≤10．

【解析】

(1)用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

(2)先求出直線BC的解析式，設M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，得出MN是t的二次函數，即可求出MN的最大值；延長NM交OB于E，證出△BME為等腰直角三角形，求出BE、BM、BN，過點M作△BNM的高MH，則∠MHB=∠MHN=90°，設BH=x，根據勾股定理求出BH，再由勾股定理求出MH，即可求出sin∠MBN；

(3)令y1=-x2+2x+3；y2=mx-m+13，得直線y2=mx-m+13過點(1，13)；當y1=y2時，-x2+2x+3=mx-m+13，得出△=m2-36=0，求出m的值，當直線y2=mx-m+13過點C時，m=10，結合圖象即可得出m的取值范圍．

解：(1)根據題意得：

解得：a=-1，b=2，c=3，

∴拋物線的函數表達式為：y=-x2+2x+3；

(2)存在；理由如下：設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B(3，0)、C(0，3)代入得：，

解得：k=-1，b=3，

∴直線BC的解析式為：y=-x+3，

設M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，

則MN=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=-(t-)2+；

∵-1＜0，

∴MN由最大值，

當t=時，MN的最大值為；

此時M(，)，N(，)，

∴MN=-=，

∵B(3，0)、C(0，3)，

∴OB=OC=3，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，

延長NM交OB于E，如圖1所示：

則ME⊥OB，

∴△BME為等腰直角三角形，

∴∠MBE=45°，

∵BE=3-=，

∴BM=BE=；

BN===；

過點M作△BNM的高MH，則∠MHB=∠MHN=90°，

∵MH2=BM2-BH2=MN2-NH2，

設BH=x，則NH=-x，

∴()2-x2=()2-(-x)2，

解得：x=，

∴BH=，

∴MH==；

∴sin∠MBN==；

(3)令y1=-x2+2x+3；y2=mx-m+13，

∵x=1時，y2=13，

∴直線y2=mx-m+13過點(1，13)，

當y1=y2時，-x2+2x+3=mx-m+13，

整理得：x2+(m-2)x-m+10=0，

△=(m-2)2-4×1×(-m+10)=m2-36=0，

解得：m=-6，或m=6，

當直線y2=mx-m+13過點C時，m=10，

由圖象可知(如圖2所示)，

當-6≤m≤10時，均有y1≤y2，

∴m的取值范圍為：-6≤m≤10．