Question

【題目】如圖(1)所示，等邊△ABC中，線段AD為其內角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于點C1交AB的延長線于點B1．

(1)請你探究：＝，＝是否都成立？

(2)請你繼續探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內角角平分線，請問＝一定成立嗎？并證明你的判斷．

(3)如圖(2)所示Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝，E為AB上一點且AE＝5，CE交其內角角平分線AD于F．試求的值．

Answer 1

【答案】(1)兩個等式都成立．理由見解析； (2)結論仍然成立，理由見解析；(3) ＝．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，則DB=CD，易得；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，則AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得；

（2）過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，根據平行線的性質和角平分線的定義得到∠E=∠CAD=∠BAD，則BE=AB，并且根據相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE=AB，于是有，這實際是三角形的角平分線定理；

（3）AD為△ABC的內角角平分線，由（2）的結論得到，又，則有，得到DE∥AC，根據相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有.

解：(1)兩個等式都成立．理由如下：

∵△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，

∴AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，

∴DB＝CD，

∴＝，

∵∠C1AB1＝60°，

∴∠B1＝30°，

∴AB1＝2AC1，

又∠DAB1＝30°，

∴DA＝DB1，

而DA＝2DC1，

∴DB1＝2DC1，

∴＝；

(2)結論仍然成立，理由如下：

如圖所示，

△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，

∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，

∴BE＝AB，

∵BE∥AC，

∴△EBD∽△ACD，

∴＝，

而BE＝AB，

∴＝．

(3)如圖，連接DE，

∵AD為△ABC的內角角平分線，

∴＝＝＝，＝＝，

又＝＝，

∴＝，

∴DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴＝＝．