Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O，點D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足為點E，DE與⊙O和AB分別交于點M、F．連接BO、DO、AM．

(1)證明：BD是⊙O的切線；

(2)若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半徑長；

(3)在(2)的條件下，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圓的半徑為5；（3）DF=2

【解析】

（1）證明△BDO≌△BCO（SSS），則∠BDO=∠ABC=90°，即可求解；

（2）在Rt△ADC中，tan∠ACD=tan∠AMD=，則AD=2，CD=4，即可求解；

（3）證明△DAE∽△BOC，則，即，解得：BC=10，則FE=AE=2，DF=DE-EF=2．

解：（1）在△BDO和△BCO中，

BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，

故△BDO≌△BCO（SSS），

∴∠BDO＝∠ABC＝90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）連接CD，則∠AMD＝∠ACD，

AB是直徑，故∠ADC＝90°，

在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝，

∵AD＝2，

∴CD＝4，

∴AC＝，

故圓的半徑為5；

（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，

則DE＝，則AE＝2，

由（1）知△BDO≌△BCO，

∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，

∵∠DAE＝∠DOC，

∴∠DAE＝∠BOC，

∵ED⊥AC，

∴∠AED＝∠OCB＝90°，

∴△DAE∽△BOC，

∴，即，解得：BC＝10，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∴∠FAE＝∠AFE＝45°，

∴FE＝AE＝2，

∴DF＝DE﹣EF＝2．