Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與拋物線交軸于點，交軸于點，拋物線交軸的另一個交點為點（點的左邊）．點為拋物線上一個動點（且點的橫坐標滿足，過點作軸交于點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若為直角三角形，求點的坐標；

（3）在（2）的結論下，點為拋物線上任意一個動點，點為軸上一個動點，則以，，，四點為頂點的四邊形能否為平行四邊形，若能，請直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）D點坐標為D1（1，0），D2（2，﹣1）；（3）能，，

【解析】

（1）先求出點B、C的坐標，然后利用待定系數法，即可求出拋物線的解析式；

（2）根據題意，可分為兩種情況進行①當點D1為直角頂點時，點D1與點A重合；②當點B為△BD2E2的直角頂點時；分別求出坐標即可；

（3）由題意，利用平行四邊形的判定和性質，通過平移直線BD進行討論，即可求出點P的坐標．

解：（1）由一次函數的圖象交x軸于B點，交y軸于C點可得，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C代入拋物線可得，

，

∴

∴拋物線為y=x2﹣4x+3；

（2）分兩種情況：

①當點D1為直角頂點時，點D1與點A重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3；

∵點B在點A的右邊，

∴A（1，0），B（3，0）；

∴D1（1，0）；

②當點B為△BD2E2的直角頂點時；

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBE2=45°；

當∠E2BD2=90°時，∠OBD2=45°，

∴BO平分∠E2BD2；

又∵D2E2∥y軸，

∴D2E2⊥BO，

∴D2、E2關于x軸對稱；

直線BC的函數關系式為y=﹣x+3；

設E2（x，﹣x+3），D2（x，x2﹣4x+3），

則有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

即x2﹣5x+6=0；

解得：x1=2，x2=3（舍去）；

∴當x=2時，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；

∴D2的坐標為D2（2，﹣1）．

∴D點坐標為D1（1，0），D2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，當D點的坐標為D1（1，0）時，不能構成平行四邊形；

當點D的坐標為D2（2，﹣1）（即拋物線頂點）時，

平移直線BD交x軸于點N，交拋物線于P；

∵D（2，﹣1），

∴可設P（x，1）；

∴x2﹣4x+3=1，

解得：，；

∴符合條件的P點有兩個，

即，．