Question

【題目】直線y=﹣x+3交x軸于點A，交y軸于點B，頂點為D的拋物線y=﹣x2+2mx﹣3m經過點A，交x軸于另一點C，連接BD，AD，CD，如圖所示．

（1）直接寫出拋物線的解析式和點A，C，D的坐標；

（2）動點P在BD上以每秒2個單位長的速度由點B向點D運動，同時動點Q在CA上以每秒3個單位長的速度由點C向點A運動，當其中一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．PQ交線段AD于點E．

①當∠DPE=∠CAD時，求t的值；

②過點E作EM⊥BD，垂足為點M，過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N，當PN=EM時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點A（2，0），點C（6，0），點D（4，3），（2）①秒；（2）t=（1﹣）秒或t=秒．

【解析】（1）先由直線解析式求得點A、B坐標，將點A坐標代入拋物線解析式求得m的值，從而得出答案；

（2）①由（1）知BD=AC、BD//OC，根據AB=AD=證四邊形ABPQ是平行四邊形得AQ=BP，即2t=4-3t，解之即可；

②分點N在AB上和點N在AD上兩種情況分別求解．

（1）在中，令得，令得，

∴點、點，

將點代入拋物線解析式，得：，

解得：，

所以拋物線解析式為，

∵y，

∴點，對稱軸為，

∴點C坐標為；

（2）如圖1，

由（1）知，

根據，得：，

①∵、，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵、，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形ABPQ是平行四邊形，

∴，即，

解得：，

即當時，秒；

②Ⅰ當點N在AB上時，，即，

連接NE，延長PN交x軸于點F，延長ME交x軸于點H，

∵、，，，

∴，，、，，

∴，

∵點N在直線上，

∴點N的坐標為，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴，

∵、，

∴直線AD解析式為，

∵點E在直線上，

∴點E的坐標為，

∵，

∴，

解得：舍或；

Ⅱ當點N在AD上時，，即，

∵，

∴點E、N重合，此時，

∴，

∴，

解得：，

綜上所述，當時，秒或秒