Question

【題目】過矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE，CF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“ASA”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE＝OF，即可證四邊形AECF是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)可得：菱形AECF的面積＝EC×AB＝AC×EF，進(jìn)而得到EF的長．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵O是AC的中點(diǎn)，

∴AO＝CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE＝OF，且AO＝CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形；

（2）∵菱形AECF的面積＝EC×AB＝AC×EF，

又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，

∴×6＝×10×EF，

解得EF＝．