Question

【題目】在平面直角坐標系 XOY中，對于任意兩點 (,)與 (,)的“非常距離”，給出如下定義： 若 ，則點 與點 的“非常距離”為 ；若 ，則點 與點的“非常距離”為 .

例如：點 (1,2)，點 (3,5)，因為 ，所以點 與點 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值（點 Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點）。

（1）已知點 A(-,0)， B為 y軸上的一個動點，①若點 A與點 B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點 B的坐標；②直接寫出點 A與點 B的“非常距離”的最小值；

（2）已知 C是直線 上的一個動點，①如圖2，點 D的坐標是（0，1），求點 C與點 D的“非常距離”的最小值及相應的點 C的坐標； ②如圖3， E是以原點 O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點 C與點 E的“非常距離”的最小值及相應的點 E和點 C的坐標。

Answer 1

【答案】（1）①B（0，2）或（0，﹣2）；②； （2）① , C（﹣， ）;②點C的坐標為（﹣，），E（﹣,）,最小值為1．

【解析】

根據題目對“非常距離”的定義，即兩點間的“非常距離”是指兩點橫坐標和縱坐標差的絕對值中的較大者，根據這個定義即可解答此題.

（1）解：①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為（0，y）．
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴點B的坐標是（0，2）或（0，﹣2）；
②點A與點B的“非常距離”的最小值為

（2）解：①如圖2，

取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直線y= x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），
∴設點C的坐標為（x0 ， x0+3），
∴﹣x0= x0+2，
此時，x0=﹣ ，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|= ，
此時C（﹣ ， ）；
②如圖3，

當點E在過原點且與直線y= x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，
設E（x，y）（點E位于第二象限）．則
，
解得， ，
故E（﹣ ， ）．
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
則點C的坐標為（﹣ ， ），
最小值為1．