Question

【題目】二次函數的圖象經過點（0，-4）和（-2，2）.

（1）求的值，并用含的式子表示；

（2）求證：此拋物線與軸有兩個不同交點；

（3）當時，若二次函數滿足隨的增大而減小，求的取值范圍；

(4) 直線上有一點（，5），將點向右平移4個單位長度，得到點，若拋物線與線段只有一個公共點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,b=2a-3；(2)見解析；（3）≤a<0或0< a≤；（4）0<a<4或.

【解析】

（1）把A（0，-4）和B（-2，2）代入到二次函數關系式中即可得出答案；

（2）判斷的符號即可；

（3）當時，拋物線的對稱軸需滿足≥0；當時，對稱軸需滿足≤-2，分這兩種情況求解即可；

（4）當a>0時，滿足點（1，a+2a-3-4）在D點的下方，即a+2a-3-4<5即可；當a<0時，拋物線與線段只有一個公共點，即頂點的縱坐標為5，即可得出答案．

（1）解：把點A（0，-4）和B（-2，2）分別代入y=ax2+bx+c中，得c=-4，4a-2b+c=2．

∴b=2a-3．

(2)證明：

對于任意的，都有，

∴此拋物線與軸有兩個不同交點；

（3）解：當a<0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≤-2，

解得≤a<0，

當a>0時，依題意拋物線的對稱軸需滿足≥0，

解得 0< a≤，

∴a的取值范圍是≤a<0或0< a≤．

（4）解：設AB表達式為，

把點A（0，-4）和B（-2，2）代入得到：

，解得：，

∴直線AB的表達式為y=-3x-4，把C（m，5）代入得m=-3，

∴C（-3，5），由平移得D（1，5），

①當a>0時，若拋物線與線段CD只有一個公共點，

(如圖1)，則拋物線上的點（1，a+2a-3-4）在D點的下方，

∴a+2a-3-4<5，

解得a<4，

∴0<a<4；

②當a<0時，若拋物線的頂點在線段CD上，則拋物線與線段只有一個公共點．（如圖2）

∴．即，

解得（舍去）或，

綜上，a的取值范圍是0<a<4或．