Question

【題目】如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動點，同時從，兩點出發，分別沿，勻速運動，其中點運動的速度是，點運動的速度是，當點到達點時，，兩點都停止運動，設運動時間為，解答下列問題：

（1）如圖①，當為何值時，；

（2）如圖②，當為何值時，為直角三角形；

（3）如圖③，作交于點，連接，當為何值時，與相似？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3或；（3）或2

【解析】

（1）先表示出AQ=2t，AP=6-t，利用AP=3AQ建立方程求解即可得出結論；
（2）分兩種情況，利用含30度角的直角三角形的性質（30度角所對的直角邊是斜邊的一半）建立方程求解即可得出結論；
（3）先表示出BD=2t，再分兩種情況：①當△BPD∽△PDQ時，判斷出∠APQ=∠BDP，進而判斷出△APQ∽△BDP，得出比例式建立方程求解；
②當△BPQ∽△QDP時，得出∠B=∠DQP=60°，進而判斷出△APQ是等邊三角形，得出AP=AQ建立方程求解即可得出結論．

（1）由題意知，，，

∵是邊長為的等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

即：秒時，；

（2）由（1）知，，，

∵為直角三角形，

①當時，，

∴，∴秒，

②當時，，

∴，

∴秒，

即：秒或秒時，是直角三角形；

（3）由題意知，，，

∴，

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∵與相似，

∴①當時，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴秒，

②當時，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴秒，

即：秒或2秒時，與相似．