Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為t秒．連接PQ．

（1）填空：b＝ ，c＝ ；

（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；

（3）點M在拋物線上，且△AOM的面積與△AOC的面積相等，求出點M的坐標。

Answer 1

【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，見解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）

【解析】

(1)設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-4）．將a=-代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；
（2）先求得點C的坐標，依據勾股定理可求得AC=5，則PC=5-t，AQ=3+t,再判斷當△APQ是直角三角形時，則∠APQ＝90°，從而得出AOCAPQ，得到比例式列方程求解即可；

(3)根據點M在拋物線上，設出點M的坐標為（m，﹣m2+m+4），再根據△AOM的面積與△AOC的面積相等，從而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣4）．將a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，

∴b＝，c＝4．

（2）在點P、Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：∵在點P、Q運動過程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，

∴當△APQ是直角三角形時，則∠APQ＝90°．

將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4，

∴C（0，4）．∵點A的坐標為（﹣3，0），

∴在Rt△AOC中，依據勾股定理得：AC＝5，

∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，

∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC

∴AOCAPQ

∴AP:AO=AQ:AC

∴= ∴t=4.5．

∵由題意可知：0≤t≤4，

∴t＝4.5不合題意，即△APQ不可能是直角三角形．

(3 )設點M的坐標為（m，﹣m2+m+4）

∵△AOM的面積與△AOC的面積相等，且底都為AO，C（0，4）．

∴﹣m2+m+4=

當﹣m2+m+4=-4時，解得：m=或,

當﹣m2+m+4=4時，解得：m=1或0

∵當m=0時，與C重合，∴m=或或1

∴ M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）